Services within a Busy Period of an M/M/1 Queue and Dyck Paths

We analyze the service times of customers in a stable M/M/1 queue in equilibrium depending on their position in a busy period. We give the law of the service of a customer at the beginning, at the end, or in the middle of the busy period. It enables as a by-product to prove that the process of instants of beginning of services is not Poisson. We then proceed to a more precise analysis. We consider a family of polynomial generating series associated with Dyck paths of length 2n and we show that they provide the correlation function of the successive services in a busy period with n+ 1 customers. Résumé On s’intéresse à l’analyse des temps de service des clients d’une file M/M/1 stable et en équilibre selon leur position dans une période d’activité. On donne la loi d’un service sachant que le client se trouve au début, à la fin ou au milieu de la période d’activité. Ceci permet, au passage, de prouver que le processus des instants de début de service n’est pas un processus de Poisson. On mène ensuite une étude plus fine. On exhibe une famille de séries génératrices polynômiales associées aux chemins de Dyck de longueur 2n et on montre qu’il s’agit de la fonction de corrélation des différents services dans une période d’activité comportant n+ 1 clients.